特征提取与特征选择

2014年10月22日

特征提取和特征选择都是从原始特征中找出最有效(同类样本的不变性、不同样本的鉴别性、对噪声的鲁棒性)的特征。

区别与联系


特征提取:将原始特征转换为一组具有明显物理意义(Gabor、几何特征[角点、不变量]、纹理[LBP HOG])或者统计意义或核的特征。

特征选择:从特征集合中挑选一组最具统计意义的特征,达到降维。

两者的共同作用:

1 减少数据存储和输入数据带宽;

2 减少冗余;

3 低纬上分类性往往会提高;

4 能发现更有意义的潜在的变量,帮助对数据产生更深入的了解。

线性特征提取


PCA-主成分分析

思想:寻找表示数据分布的最优子空间(降维,可以去相关)。

其实就是取协方差矩阵前s个最大特征值对应的特征向量构成映射矩阵,对数据进行降维。

具体可以参考下面这篇讲的很直观详细的文章

LDA-线性判别分析

思想:寻找可分性判据最大的子空间。

用到了Fisher的思想,即寻找一个向量,使得降维后类内散度最小,类间散度最大;其实就是取$S_{w}^{-1}S_{b}$前s个特征值对应的特征向量构成映射矩阵,对数据进行处理。

DHS的模式分类一书中96页有详细的推导,浅显易懂,论文1也非常值得阅读。

ICA-独立成分分析

思想:PCA是将原始数据降维,并提取不相关的部分;ICA是将原始数据降维并提取出相互独立的属性;寻找一个线性变换$z=Wx$,使得z的各个分量间的独立性最大,$I(z)=Eln\frac{p(z)}{p(z_{1})...p(z_{d})}$

具体可参考Machine Learning: A Probabilistic Perspective的推导计算及论文2。

PCA VS ICA

PCA的问题其实是一个基的变换,使得变换后的数据有着最大的方差。方差的大小描述的是一个变量的信息量,我们在讲一个东西的稳定性的时候,往往说要减小方差,如果一个模型的方差很大,那就说明模型不稳定了。但是对于我们用于机器学习的数据(主要是训练数据),方差大才有意义,不然输入的数据都是同一个点,那方差就为0了,这样输入的多个数据就等同于一个数据了。

ICA是找出构成信号的相互独立部分(不需要正交),对应高阶统计量分析。ICA理论认为用来观测的混合数据阵X是由独立元S经过A线性加权获得。ICA理论的目标就是通过X求得一个分离矩阵W,使得W作用在X上所获得的信号Y是独立源S的最优逼近,该关系可以通过下式表示:

$$Y=WX=WAS, A=W^{-1}$$

ICA相比与PCA更能刻画变量的随机统计特性,且能抑制高斯噪声。

二维PCA

参考论文3

CCA-典型对应分析(Canonical Correlaton Analysis)

思想:找到两组基,使得两组数据在这两组基上的投影相关性最大。

用来描述两个高维变量之间的线性关系

用PLS(Partial Least Squares)来求解,参考论文4

非线性特征提取


Kernel PCA

参考论文5

Kernel FDA

参考论文6

Manifold Learning 流形学习

找到流形上的低维坐标。

利用流形学上的局部结构进行降维的方法有:ISOMAP、LLE、Laplacian Eigenmap、LPP 参考文献7,8,9,10。

准则性质总结


准则需满足的条件

特征提取与特征选择的准则需要满足:

  1. 单调性:$J(x_{1},...,x_{n})<=J(x_{1},...,x_{s},x_{s+1})$
  2. 可加性:$J(x_{1},...,x_{s})=\sum_{i}{J(x_{i})}$
  3. 不变性:$J(x)=J(AX)$线性变换下
  4. 度量性:$J_{ij}>=0, J_{ij}=J_{ji},J_{ij}=0 \, if \, and \, only \, if\, i=j$
  5. 与错误率的上界或者下届有单调关系,或者说本身就是错误率的上界或者下届

大致可分为三类

基于欧式距离的准则

  • 整体散度 $S_{t}=\frac{1}{2N^{2}}\sum_{i,j}{(x_{i}-x_{j})(x_{i}-x_{j})^{`}}=S_{w}+S_{b}$
  • PCA:$tr(S_{t})$
  • LDA:$tr(S_{b})/tr(S_{w})$
  • 基于距离的准侧概念直观,计算方便,但与错误率没有直接关系

基于概率距离的准则

  • Bhattacharyya距离 $J_{B}=-ln{\int_{\Omega}[p(\overrightarrow{a}|w_{1})p(\overrightarrow{a}|w_{2})]^{\frac{1}{2}}d\overrightarrow{x}}$
  • Chernoff界限 $J_{C}=-ln\int_{\Omega}p(\overrightarrow{a}|w_{1})^{s}p(\overrightarrow{a}|w_{2})^{1-s}d\overrightarrow{x},\, 0<s<1 $
  • KL散度 $I_{ij}(\overrightarrow{x})=E_{i}[ln\frac{p(\overrightarrow{x}|w_{i})}{p(\overrightarrow{x}|w_{j})}]$

基于熵的准则

  • 熵函数 $H=J_{C}[P(w_{1}|x),...,P(w_{c}|x)]$
  • 香农熵 $J_{C}^{1}=-\sum_{i=1}^{C}P(w_{i}|x)log_{2}P(w_{i}|x)$
  • 平方熵 $J_{C}^{2}=2[1-\sum_{i=1}^{c}P^{2}(w_{i}|x)]$
  • 广义熵 $J_{C}^{a}[P(w_{1}|x),...,P(w_{c}|x)]$


以上只是一个简短的概述性文章,建议根据参考文献进行扩展性阅读。

参考文献


[1] Hua Yu and JieYang, A direct LDA algorithm for high - dimensional data with application to face recognition, Pattern Recognition Volume 34, Issue 10, October 2001,pp.2067- 2070

[2] A. Hyvarinenand E. Oja. Independent Component Analysis: Algorithms and Applications. Neural Networks, 13(4- 5):411 -430, 200

[3] J. Yang, D. Zhang, A.F. Frangi , and J.Y. Yang, Two - dimensional PCA: a new approach to appearance - based face representation and recognition, IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 26, no. 1, pp. 131- 137, Jan. 2004

[4] R. H. David, S. Sandor and S.- T. John,Canonical correlation analysis: An overview with application to learning methods, Technical Report, CSD - TR- 03-02,2003

[5] B. Scholkopf , A. Smola , and K.R. Muller. Nonlinear component analysis as a kernel eigenvalue problem, Neural Computation, 10(5): 1299- 1319, 1998

[6] Mika, S., Ratsch , G., Weston, J., Scholkopf , B., Mullers, K.R., Fisher discriminantanalysis with kernels, Neural Networks for Signal Processing IX, Proceedings of the IEEE Signal Processing Society Workshop, pp. 41 – 48, 1999

[7] J. B. Tenenbaum , V. de Silva, and J. C. Langford, A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction, Science, 290, pp. 2319 - 2323, 2000

[8] Sam T. Roweis , and Lawrence K. Saul, Nonlinear Dimensionality Reduction by Locally Linear Embedding,Science 22 December 2000

[9] Mikhail Belkin , Partha Niyogi ,Laplacian Eigenmaps for Dimensionality Reduction and Data Representation , Computation , 200

[10] Xiaofei He, Partha Niyogi, Locality Preserving Projections, Advances in Neural Information Processing Systems 16 (NIPS 2003), Vancouver, Canada, 2003


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